Modelo dinámico: Estabilidad direccional

fuerzas de modelo 2



El objetivo de este artículo es relacionar las componentes materiales del robot, como las medidas geométricas o la masa y su distribución, con la velocidad del robot y su estabilidad en la pista.

Para cualquier tipo de movimiento, existen  4  tipos de fuerzas que se oponen a éste: la fuerza de rozamiento, las fuerzas de inercia, la fuerza aerodinámica y la resistencia a la pendiente. En nuestro caso, al tratarse de robots que se mueven mediante ruedas en pista plana, la resistencia a la pendiente no existe y la fuerza de rozamiento es una resistencia a la rodadura.

Para el modelado del robot velocista, la dinámica que más influye es la lateral, y es la que se centrará este artículo.

 

Un primer concepto que hay que introducir para este análisis es el de deriva en la curva. Esta deriva es un ángulo que mide la diferencia entre la velocidad de la rueda longitudinal y la verdadera trayectoria de ésta.

 

Aplicando este concepto a un robot diferencial con tracción trasera, como es el caso del Robot Zero, se tiene lo siguiente:

 

 

 

donde el eje trasero se ha obtenido a partir del efecto que provocan las dos ruedas motrices en la línea central del robot:

Una primera conclusión que se puede obtener es que el ángulo de giro no sólo depende del radio de la curva, sino también de los ángulos de deriva, que son función de las fuerzas laterales que actúan en cada rueda:

Por esta razón, para que el robot siga la curva marcada por la línea con más facilidad, no sólo hay que dar distinta velocidad a las ruedas para que éste gire según la línea, sino tener en cuenta también la deriva real de las ruedas.

Para el planteamiento de las ecuaciones dinámicas, se escogerá un sistema de referencia en movimiento con el robot:


El equilibrio de fuerzas queda:

 

 

 

 

 

Las fuerzas longitudinales (eje x) son la fuerza motriz menos la aerodinámica y el rozamiento y las laterales (eje y) se pueden aproximar por:

 

 

A Ca se le denomina rigidez a la deriva de los neumáticos, que se puede entender como la resistencia de éstos a desplazarse lateralmente en un movimiento longitudinal.

Para este estudio se ha despreciado efectos como el balanceo (transferencia de carga vertical en las curvas de la rueda interior a la exterior), el cabeceo,etc que se tendrán en cuenta en futuras entradas.

La estabilidad direccional del sistema, como en todo sistema dinámico, viene condicionada por los autovalores y autovectores que son el resultado de resolver la parte homogénea de este sistema de ecuaciones diferenciales. Para que un sistema sea estable, es decir, tienda a la solución estacionaria, su autovalor ha de tener parte real negativa. En este sistema, esta condición se da cuando:

 



Por esto, dependiendo de las distribuciones del peso del vehículo y de las rigideces de los neumáticos, se tienen tres tipos de comportamiento direccional:

 

I.            Virador neutro (Ks=0): En este caso, el ángulo que se requiere para tomar la curva es el propio de la curva (L/R), por lo que en la curva puede aumentarse la velocidad sin tener que modificar el ángulo de giro. En este caso, siempre será estable la solución de la estabilidad direccional.

II.            Subvirador (Ks>0): En esta situación, el ángulo necesario para tomar la curva aumenta con el cuadrado de la velocidad longitudinal: cuando se aumenta la velocidad en la curva es necesario girar más de lo que indica la línea de giro o el robot girará menos de lo debido. En este caso, también es estable la solución de la estabilidad direccional.

III.            Sobrevirador (Ks<0): En este caso, el ángulo necesario para tomar la curva disminuye con el cuadrado de la velocidad longitudinal. Es el caso contrario al subvirador. El tipo sobrevirador, aunque es por esta razón más rápido y nervioso, no siempre presenta una solución estable a la ecuación de estabilidad: existe para ellos una velocidad crítica para la cual el robot se mantiene en curva yendo las ruedas a la misma velocidad longitudinal, esto es, pierde la estabilidad direccional. La expresión de esta velocidad crítica es la siguiente:

En los siguientes gráficos se pueden ver simulaciones que indican cómo en el caso de los sobreviradores tener una velocidad mayor en la curva se traduce en el giro más rápido de los tres casos, pero limitado a alcanzar la inestabilidad:

 

 

Observando las componentes de Ks, se puede ver cómo un coche con el peso concentrado en el eje delantero tiende a ser subvirador mientras que si lo tiene en el trasero, será sobrevirador. Tener ruedas motrices traseras también es un factor para ser sobrevirador.  Éste es el caso del Robot Zero, y pruebas hechas en la pista, como las detalladas en el artículo acerca del ball caster , donde, al reducir el peso del morro quitando la bola, se aprecia como el robot gira más rápido. También en este artículo se ve cómo un robot más largo con mayor masa en el morro se estabiliza antes en la curva y le cuesta menos mantenerse así.

Para una velocidad media de 2m/s, las dimensiones máximas permitidas en el Cosmobot y su radio máximo de giro, se tiene que, situar el centro de masas en el eje trasero del Robot Zero, implica una velocidad crítica un poco mayor de estos 2 m/s; mientras que desplazarlo 2cm hacia el morro eleva el valor de esta velocidad un orden de magnitud, pasando luego a comportarse como un virador neutro.

Junto con el artículo kinematic model, donde se relaciona la velocidad de las ruedas con el voltaje de los motores, se puede obtener un programa de control más sólido donde se regule el voltaje del robot máximo para que nunca alcance la inestabilidad direccional en curvas. Con esto se permite llegar a una velocidad mayor en rectas largas y que, al pasar a una curva cerrada en el circuito, el robot no deslice y pueda coger la curva sin tener que frenar tanto.

Otra opción sería corregir el efecto sobrevirador para tener un robot que, aunque más lento, sea estable en todos los casos. Esto se puede hacer, por ejemplo, aumentando la rigidez de las ruedas traseras mediante un grosor mayor o algún mecanismo de suspensión.

Este modelo se ha basado del libro Un curso de Automoción, de P. Pintado. Ed.1994.

 

 

 



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10 Responses to “Modelo dinámico: Estabilidad direccional”

  1. Pedro says:

    Excelente explicación, siempre me había preguntado sobre cómo influenciaba las medidas del robot a la hora de dar la curva y sólo había llegado a la conclusión de que el ancho del robot debía ser máximo de la curva mas pequeña que debía dar.
    Hay algo que no me queda claro y es la velocidad critica, de dónde sale esta ecuación? no es despejando la desigualdad que das arriba? porque si es asi debería ser que la Vcr=sqrt(-L*Ks/g), no? te agradecería tu explicación, muchas gracias.

    • Maiki says:

      Muchas gracias por tu comentario. He estado revisándolo todo y había un error: la ecuación de la velocidad crítica estaba bien y sale de despejar la desigualdad de arriba. Lo que estaba mal escrito era la desigualdad… u_u. Ya lo he corregido y creo que no se me ha ido nada más, pero si ves algo o tienes alguna pregunta, sólo escríbela por aquí.

      Un saludo

  2. Pedro says:

    Por cierto, tienes el titulo de algún libro que explique mucho mas al detalle todo esto?

    • Maiki says:

      Este modelo ha sido una adaptación del que se explica en el libro Un curso de Automoción, de P. Pintado. La adaptación ha sido pasar de la configuración típica de un coche a las características del Robot Zero (no hay muchos cambios en realidad), pero no he encontrado nada sobre la dinámica de robots velocistas directamente.
      En la bibliografía de este libro vienen publicaciones de aspectos más específicos que influyen en la dinámica del robot, como la dirección, el frenado, etc por si tambíen te interesan.

      Un saludo

  3. ayuda says:

    es cierto lo q comenta pedro. creo q la formula de la velocidad critica esta mal despejada

    • Maiki says:

      Buenas, llevábais razón: había una errata en la fórmula de la que se despeja la velocidad crítica.

      Ya está actualizado en el post. Muchas gracias por avisar!

      Un saludo

  4. Pedro says:

    Muchas gracias, ahora si quedó claro. Conseguí un articulo en el cual está el modelo dinamico con el deslizamiento de las llantas y todo, lo que pasa es que hay que saber matematicas muy avanzadas para aplicarlo, si quieres te puedo poner el link aqui. Me avisas

  5. Pedro says:

    Costumbre la mia de colocar dos comentarios por vez XD.

    Es algo que acabé de notar, pero qué pasa si el centro de masas lo tengo sobre el eje delantero? Es decir, c sera igual a 0 y Ks siempre sera positivo y por lo tanto, siempre sera estable? no?

    • Maiki says:

      Llevas toda la razón. Es más, no hace falta que el centro de masas esté sobre el eje delantero: Hasta una cierta distancia de este eje se puede situar el centro de masas que el robot será estable (La relación se puede despejar de la ecuación de Ks). El inconveniente que tiene esto es que el robot será más lento en velocidad y al reajustarse en los cambios.

      Y eso, pásanos el link con el módelo, que seguro que le podemos sacar algo! (si llegamos a descifrarlo, claro…jaja)

  6. Pedro says:

    El link es el siguiente http://www.aadeca.org/publicaciones/cponline/monografia_robot_movil.pdf

    es una monografía sobre robotica movil sobre ruedas, como en la pagina 60 está el modelo dinámico

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